Ferraillage d’escalier droit en béton armé – BAEL91

Introduction

Le calcul du ferraillage d’un escalier droit en béton armé est l’une des études les plus courantes en bureau d’études structure, et pourtant l’une des plus souvent bâclées. Géométrie de paillasse inclinée, répartition des charges entre volée et paliers, conditions d’appui réelles : autant de points qui rendent cet élément plus subtil qu’il n’y paraît — et qui justifient de ne pas recycler sans réflexion une note de calcul d’un projet à l’autre.

Dans cet article, nous détaillons la méthode complète de calcul d’un escalier droit en béton armé selon le BAEL91, telle que nous l’appliquons chez S2AER pour nos missions d’études de structures. Vous y trouverez les formules utilisées dans notre logiciel de calcul, expliquées et justifiées terme par terme. Nous mettons également à disposition en fin d’article un outil Excel/VBA développé en interne, gratuit, qui automatise l’ensemble de la démarche.

Ce que couvre cet article :

• • Modélisation de l’escalier droit comme poutre isostatique à chargement non uniforme

• • Calcul des charges permanentes zone par zone (palier, volée, palier)

• • Calcul des sollicitations par équilibre statique général (cas asymétrique inclus)

• • Ferraillage longitudinal et de répartition selon le BAEL91

• • Vérification des sections minimales et des contraintes à l’ELS

1. Modélisation d’un escalier droit

Un escalier droit en béton armé se compose généralement de deux éléments structurels distincts, souvent coulés en continuité :

• • La paillasse : dalle inclinée supportant les marches, dont l’épaisseur est mesurée perpendiculairement à son plan.

• • Le palier : dalle horizontale de réception, en tête et/ou en pied de volée.

Pour le calcul, l’escalier droit est assimilé à une poutre-dalle de largeur unitaire (bande de 1 mètre), en flexion simple, reposant sur deux appuis simples. L’hypothèse de poutre isostatique est la plus courante et la plus sécuritaire : elle est adaptée lorsque les appuis (mur, poutre palière, voile) n’offrent pas de continuité réelle.

Le choix du modèle n’est pas neutre. Une continuité structurelle réelle avec les paliers ou planchers adjacents modifie la distribution des moments : une hypothèse isostatique appliquée à tort conduit à l’absence de ferraillage supérieur sur des appuis qui reprennent en réalité un moment négatif non négligeable.

2. Détermination des charges sur un escalier droit

Principe général

Bien que la paillasse soit inclinée d’un angle α, toutes les charges sont ramenées à une valeur par mètre carré de projection horizontale. Cela permet de traiter l’escalier droit comme une poutre horizontale de portée L, subdivisée en trois tronçons de longueurs l₁ (palier gauche), l₂ (volée) et l₃ (palier droit), avec :

L = l₁ + l₂ + l₃

2.1 Pré-dimensionnement des épaisseurs

Chacun des trois tronçons de l’escalier droit possède sa propre épaisseur de dalle, mesurée perpendiculairement à son plan :

• • e1 : épaisseur du palier gauche (dalle horizontale)

• • e2 : épaisseur de la volée — paillasse inclinée, mesurée perpendiculairement à la pente

• • e3 : épaisseur du palier droit (dalle horizontale)

L’épaisseur e2 est l’épaisseur structurelle principale. Elle est déterminée à partir de la règle de Blondel qui relie la géométrie des marches aux conditions de confort :

2H + D = 0,55 à 0,65 m

où H est la hauteur de contremarche et D le giron. L’épaisseur e2 est ensuite déduite de la portée et arrondie au centimètre supérieur pour tenir compte des revêtements.

Les épaisseurs e1 et e3 sont fixées de manière indépendante selon les contraintes architecturales et les niveaux de plancher à raccorder. Dans le cas courant d’un escalier droit coulé en continuité, on retient généralement e1 = e2 = e3, mais la méthode s’applique sans restriction au cas général.

2.2 Poids propre du béton par zone

Le poids propre est exprimé par mètre carré de projection horizontale. Il diffère selon la zone :

Zone palier gauche (dalle horizontale d’épaisseur e1) :

ρ × e1

Zone volée (dalle inclinée d’épaisseur e2 + remplissage triangulaire des marches) :

ρ × (e2 / cos α + H / 2)

Le terme e2/cos α convertit l’épaisseur mesurée perpendiculairement à la pente en épaisseur vue horizontalement. Le terme H/2 représente la hauteur moyenne du triangle de béton formé par les marches au-dessus de la dalle.

Zone palier droit (dalle horizontale d’épaisseur e3) :

ρ × e3

Où ρ = 24,5 kN/m³ est le poids volumique du béton armé.

2.3 Charges de revêtement

On distingue trois composantes de revêtement, chacune définie sur sa propre surface de référence, qu’il faut ramener au m² horizontal :

Sur le palier, le terme pcm disparaît (pas de contremarches) et psf s’applique directement sans facteur correctif (sous-face horizontale).

Détail terme par terme :

• • pm est déjà exprimé en kN/m² horizontal — aucune conversion n’est nécessaire.

• • pcm × (H/D) : pour 1 m² de projection horizontale, la surface de contremarche est de H/D m². Si H = 0,17 m et D = 0,24 m, chaque mètre horizontal contient 0,17/0,24 ≈ 0,71 m² de contremarche.

• • psf / cos α : 1 m² horizontal correspond à 1/cos α m² de surface inclinée. Si α = 35°, cos α ≈ 0,82, soit 1,22 m² de sous-face à enduire par m² horizontal.

2.4 Charge permanente totale par zone

En combinant le poids propre (§2.2) et les revêtements (§2.3), on obtient la charge permanente caractéristique par mètre linéaire (bande de 1 m de large) sur chacun des trois tronçons de l’escalier droit :

Zone palier gauche :

g₁ = ρ × e1 + pm + psf

Zone volée (paillasse) :

g₂ = ρ × (e2 / cos α + H/2) + pm + pcm × (H/D) + psf / cos α

Zone palier droit :

g₃ = ρ × e3 + pm + psf

g₃ = g₁ uniquement si e1 = e3 et si les finitions sont identiques sur les deux paliers — ce qui n’est pas toujours le cas lorsque les paliers se raccordent à des niveaux de planchers différents.

Le tableau suivant résume les différences entre les expressions de chaque zone :

2.5 Charge d’exploitation (q)

La charge d’exploitation est répartie uniformément sur la projection horizontale de l’ensemble de la portée de l’escalier droit. Elle vaut :

• • 2,5 kN/m² pour un usage courant (habitation, bureaux)

• • 4,0 kN/m² pour un établissement recevant du public (ERP)

2.6 Combinaisons réglementaires et charges de calcul par zone

Conformément au BAEL91, les combinaisons de charges sont appliquées zone par zone :

À l’ELU :

qi,u = 1,35 × gi + 1,5 × q (i = 1, 2, 3)

À l’ELS :

qi,s = gi + q (i = 1, 2, 3)

Les formules du §3 s’appliquent indifféremment avec les qi,u (vérification ELU) ou qi,s (vérification ELS).

3. Calcul des sollicitations d’un escalier droit

3.1 Modèle de calcul retenu

L’escalier droit est modélisé comme une poutre isostatique simplement appuyée, de portée totale L = l₁ + l₂ + l₃, soumise à un chargement réparti non uniforme sur trois tronçons :

• • Tronçon 1 — palier gauche (longueur l₁, charge q₁)

• • Tronçon 2 — volée (longueur l₂, charge q₂)

• • Tronçon 3 — palier droit (longueur l₃, charge q₃)

Les charges q₁, q₂, q₃ désignent ici les charges totales de calcul par zone, telles que définies au §2.6 — c’est-à-dire les combinaisons permanentes et d’exploitation à l’ELU (qi,u = 1,35 gi + 1,5 q) ou à l’ELS (qi,s = gi + q) selon l’état limite vérifié. Elles ne correspondent pas à la seule charge d’exploitation q introduite au §2.5.

Ce modèle à charges par tronçons est plus rigoureux que l’hypothèse d’une charge uniforme sur toute la portée, qui n’est acceptable que si g₁ = g₂ = g₃ — ce qui n’est jamais le cas en pratique.

3.2 Réactions d’appui

Les réactions d’appui de l’escalier droit sont obtenues par équilibre statique général, sans hypothèse de symétrie.

Réaction droite V₂ — par équilibre des moments par rapport à l’appui gauche :

V₂ = [ q₁ × l₁²/2 + q₂ × l₂ × (l₁ + l₂/2) + q₃ × l₃ × (l₁ + l₂ + l₃/2) ] / L

Réaction gauche V₁ — par équilibre des forces verticales :

V₁ = q₁ × l₁ + q₂ × l₂ + q₃ × l₃ − V₂

3.3 Effort tranchant par tronçon

L’effort tranchant varie linéairement sur chaque tronçon de l’escalier droit :

• • Tronçon 1 (0 ≤ x ≤ l₁) :
    V(x) = V₁ − q₁ × x

• • Tronçon 2 (l₁ ≤ x ≤ l₁ + l₂) :
    V(x) = V₁ − q₁ × l₁ − q₂ × (x − l₁)

• • Tronçon 3 (l₁ + l₂ ≤ x ≤ L) :
    V(x) = −V₂ + q₃ × (L − x)

Les valeurs aux appuis V₁ (gauche) et V₂ (droite) conditionnent la vérification au cisaillement.

3.4 Moment fléchissant

Équation du moment en tout point x :

• • Tronçon 1 :
    M(x) = V₁ × x − q₁ × x²/2

• • Tronçon 2 :
    M(x) = V₁ × x − q₁ × l₁ × (x − l₁/2) − q₂ × (x − l₁)²/2

• • Tronçon 3 :
    M(x) = V₁ × x − q₁ × l₁ × (x − l₁/2) − q₂ × l₂ × (x − l₁ − l₂/2) − q₃ × (x − l₁ − l₂)²/2

Position du moment maximal dans chaque tronçon :

Le moment est maximal là où l’effort tranchant s’annule. On calcule l’abscisse x₀ pour chaque tronçon :

x₀,₁ = V₁ / q₁
x₀,₂ = l₁ + (V₁ − q₁ × l₁) / q₂
x₀,₃ = l₁ + l₂ + (V₁ − q₁ × l₁ − q₂ × l₂) / q₃

Moment maximal par tronçon :

Pour chaque tronçon, si l’abscisse x₀ est à l’intérieur du tronçon, le moment maximal est calculé en x₀ ; sinon, il est pris à la borne la plus défavorable.

• • Tronçon 1 :
    
    • • Si x₀,₁ ≤ l₁ → M₁,max = V₁² / (2 × q₁)
    • • Sinon → M₁,max = M(l₁)

• • Tronçon 2 :
    
    • • Si l₁ ≤ x₀,₂ ≤ l₁ + l₂ → M₂,max = M(x₀,₂)
    • • Sinon → M₂,max = max [ M(l₁) ; M(l₁ + l₂) ]

• • Tronçon 3 :
    
    • • Si l₁ + l₂ ≤ x₀,₃ ≤ L → M₃,max = M(x₀,₃)
    • • Sinon → M₃,max = M(l₁ + l₂)

Moment maximal global :

M_max = max (M₁,max ; M₂,max ; M₃,max)

C’est cette valeur qui est utilisée au §4 pour le calcul du ferraillage longitudinal à l’ELU, et pour les vérifications de contraintes à l’ELS.

Remarque : dans la très grande majorité des cas courants, le moment maximal d’un escalier droit se situe dans le tronçon 2 (la volée). Les tronçons 1 et 3 sont néanmoins traités de manière générale pour couvrir les configurations atypiques — paliers longs ou chargements dissymétriques.

4. Calcul du ferraillage d’un escalier droit

4.1 Données de la section

L’escalier droit est calculé par bande unitaire de largeur b = 1 m. Chaque tronçon possède sa propre hauteur de section, correspondant à son épaisseur de dalle :

où c’ est l’enrobage nominal additionné du demi-diamètre de la barre principale. Pour une paillasse intérieure, on retiendra c’ = 2,5 à 3,0 cm selon le diamètre adopté.

Le ferraillage de chaque tronçon est calculé avec le moment maximal qui lui est propre (M₁,max, M₂,max, M₃,max issus du §3.4) et la hauteur utile correspondante (d1, d2, d3). Dans la grande majorité des cas courants, la section dimensionnante de l’escalier droit est celle de la volée, caractérisée par M₂,max et d2.

Les contraintes de calcul du béton et de l’acier sont :

fbu = (0,85 × fc28) / (θ × γb) = (0,85 × fc28) / 1,5

fed = fe / γs = fe / 1,15

avec θ = 1 (durée d’application des charges normale), γb = 1,5 et γs = 1,15.

4.2 Armatures longitudinales à l’ELU

Le moment de calcul Mu est le moment M_max issu du §3, calculé à l’ELU. Le calcul suit la méthode des pivots du BAEL91 en flexion simple rectangulaire.

Étape 1 — Moment réduit :

μu = Mu / (b × d² × fbu)

Étape 2 — Position de l’axe neutre :

k = (1 − √(1 − 1,6 × μu)) / 0,8

Étape 3 — Vérification du pivot :

Pour une paillasse courante, on se situe systématiquement en Pivot A. Un résultat en Pivot C signale une section insuffisante et sort du périmètre de cet outil.

Étape 4 — Bras de levier :

z = d × (1 − 0,4 × k)

Étape 5 — Section d’armatures :

As,u = Mu / (z × fed)

4.3 Section minimale réglementaire

Indépendamment du calcul en flexion, le BAEL91 (art. B.6.4) impose une section minimale d’armatures garantissant un comportement non fragile à l’apparition de la première fissure :

As,min = 0,23 × b × d × ft28 / fe

avec ft28 = 0,6 + 0,06 × fc28 (en MPa), résistance caractéristique du béton en traction.

Cette vérification est souvent dimensionnante sur les paillasses d’escalier droit de faible épaisseur (e2 ≤ 15 cm) avec un béton de résistance courante (fc28 = 25 MPa) : la section minimale réglementaire peut être plus contraignante que le calcul en flexion lui-même. Elle est à mener séparément pour chaque tronçon avec sa hauteur utile di.

4.4 Section retenue

La section d’armatures longitudinales retenue est le maximum des deux valeurs :

As = max (As,u ; As,min)

Le choix des barres (diamètre et espacement) doit satisfaire simultanément cette section et les règles d’espacement du BAEL91, en utilisant l’épaisseur ei propre au tronçon considéré :

st ≤ min (3ei ; 33 cm)

4.5 Armatures de répartition

Perpendiculairement aux armatures principales, des armatures de répartition sont disposées avec une section :

Ar = As / 4

Leur espacement est limité à :

sr ≤ min (4ei ; 45 cm)

4.6 Vérification à l’ELS

La vérification à l’ELS est obligatoire lorsque la fissuration est jugée préjudiciable (escaliers extérieurs, locaux humides) ou très préjudiciable (contact permanent avec l’eau). Pour une fissuration peu préjudiciable (escalier droit intérieur courant), elle n’est pas strictement exigée par le BAEL91 mais reste recommandée.

Elle repose sur le calcul des contraintes dans la section homogénéisée, avec le coefficient d’équivalence acier/béton n = Es/Eb = 15.

Position de l’axe neutre y₀ (en élasticité linéaire) :

y₀ = −(n × As / b) + √[ (n × As / b)² + 2 × n × As × d / b ]

Moment d’inertie de la section homogénéisée :

I = b × y₀³ / 3 + n × As × (d − y₀)²

Contraintes à vérifier :

σb = Ms × y₀ / I ≤ σ̄b

σs = n × Ms × (d − y₀) / I ≤ σ̄s

Les contraintes admissibles σ̄b et σ̄s dépendent de la classe de fissuration retenue, conformément aux articles A.4.5 et B.6.3 du BAEL91.

5. Limites de la méthode

La méthode présentée ici couvre la grande majorité des escaliers droits en béton armé rencontrés en pratique courante. Elle atteint cependant ses limites dans plusieurs situations :

• • Portées importantes, pour lesquelles la vérification de la flèche à l’ELS peut devenir dimensionnante et imposer une épaisseur supérieure à celle issue du calcul en flexion.

• • Charges concentrées (cloisons, équipements) venant s’ajouter à la charge répartie.

• • Escaliers balancés ou à paillasses non rectangulaires, nécessitant une modélisation par éléments finis.

• • Continuité structurelle réelle avec les paliers ou planchers adjacents, qui modifie la distribution des moments sur l’escalier droit.

Dans ces cas, une modélisation numérique par éléments finis reste recommandée, et c’est typiquement le type de situation où l’accompagnement d’un bureau d’études structure prend tout son sens.

6. Un outil gratuit pour calculer votre escalier droit

Pour fiabiliser et accélérer ce calcul dans notre pratique quotidienne, nous avons développé un outil de calcul Excel/VBA pour escalier droit en béton armé qui reprend l’intégralité de la méthode décrite ci-dessus : calcul des charges par zone, des réactions d’appui, du moment fléchissant maximal, du ferraillage principal et de répartition, avec vérification automatique des sections minimales et édition d’une note de calcul synthétique.

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